AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 2.5 (2024)

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.5

(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme

AG 2.5: Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können

Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021

In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Lineare Gleichungssysteme (LGS)“ kennen.

Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:

• Jede lineare Gleichung lässt sich als Gerade vom Typ\(y = k \cdot x + d\)darstellen. Da die Gleichungen linear sind, kommen nur Potenzen 1. Grades vor, also keine Quadrate oder höhere Potenzen.
• Lineare Gleichungssysteme (LGS) in zwei Variablen bedeutet, dass zwei lineare Gleichungen vorliegen, die sich jeweils als Gerade darstellen lassen, wobei wir zwischen expliziter und impliziter Darstellung unterscheiden können
  \(\eqalign{
  & {\text{Gl}}{\text{.1: }}y = {k_1} \cdot x + {d_1} \buildrel \wedge \over =
  \to{=} {a_1} \cdot x + {b_1} \cdot y = {c_1} \cr
  & {\text{Gl}}{\text{.2: }}y = {k_2} \cdot x + {d_2} \buildrel \wedge \over =
  \to{=} {a_2} \cdot x + {b_2} \cdot y = {c_2} \cr
  & {k_{i = 1,2}} = - \dfrac{{{a_i}}}{{{b_i}}};\,\,\,\,\,{d_{i = 1,2}} = \dfrac{{{c_i}}}{{{b_i}}} \cr} \)
  • • Gibt es für ein lineares Gleichungssystem in zwei Variablen nur 1 Gleichung, ist das Gleichungssystem unterbestimmt, gibt es mehr als 2 Gleichungen, so ist das Gleichungssystem überbestimmt.
  • Ein sinnvoll lösbares LGS in zwei Variablen wird immer aus 2 Gleichungen bestehen, für die es folgende 3 Lösungsmöglichkeiten gibt: unendlich viele Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung. Nachfolgend eine geometrische Interpretation dafür:
  • Lagebeziehung zweier Geraden, die in einer Ebene liegen
  • Zwei Geraden sind identisch, wenn sie dieselbe Steigung k und denselben Ordinatenabschnitt d aufweisen. In diesem Fall sind die beiden Geraden deckungsgleich und es muss folgender Zusammenhang für einen konstanten Faktor Lambda für die beiden implizite Geradengleichungen gelten
    \(\eqalign{
    & {a_1} \cdot \lambda = {a_2} \cr
    & {b_1} \cdot \lambda = {b_2} \cr
    & {c_1} \cdot \lambda = {c_2} \cr} \)
  • • Zwei Gerade haben einen Schnittpunkt, wenn sie unterschiedliche Steigungen aufweisen
    • Zwei Gerade sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung k aber unterschiedliche Ordinatenabschnitt d aufweisen Da man für parallele Gerade keinen Schnittpunkt angeben kann, ist ihre Lösungsmenge die leere Menge.
  • Beim Additionsverfahren (Methode gleicher Koeffizienten) werden im 1. Schritt durch äquivalentes Umformen die Koeffizienten einer Variablen bis auf entgegengesetzte Vorzeichen gleich gemacht. Danach werden im 2. Schritt die Gleichungen addiert, wodurch die Variable wegfällt, deren Koeffizienten man zuvor gleich gemacht hat. Was bleibt ist eine Gleichung in einer Variablen, die man dadurch löst, dass man die verbliebene Variable explizit macht.
  • Beim Substitutionsverfahren (Einsetzungsmethode) wird eine der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst, d.h. diese Variable wird explizit gemacht. Der so entstandene Term wird in die andere Gleichung eingesetzt, wodurch diese Gleichung nur mehr eine Variable enthält und lösbar wird.
  • Beim Eliminationsverfahren (Gleichsetzungsmethode) werden beide Gleichungen nach derselben Variablen (x) aufgelöst. Danach werden die erhaltenen Terme gleichgesetzt, wodurch die Variable (x) nach der explizit gemacht wurde, verschwindet und nur mehr eine Gleichung in der verbleibenden Variablen (y) überbleibt.
  • Koeffizientenvergleich zur Lösung von LGS: Einem linearen Gleichungssysteme (LGS) in zwei Variablen entsprechen zwei lineare Gleichungen, die sich jeweils als Gerade darstellen lassen. Hat man die zusätzliche Information, dass die beiden Geraden 1) ident oder 2) parallel sind, so kann man durch Koeffizientenvergleich 1) die k und d Werte, bzw.2) den k Wert aus der einen Gleichung für die andere Gleichung herleiten.

Enthaltene Beispiele findest du, indem du dieAufgabennummer in den Suchsloteingibst

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AHS - 1_204 & Lehrstoff: AG 2.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Gleichungssysteme
Gegeben sind Aussagen über die Lösbarkeit von verschiedenen linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten x und y.

• Aussage 1: \(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&x& + &y& = &2\\ {II:}&x& - &{4y}& = &2 \end{array}\) hat genau eine Lösung
• Aussage 2: \(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&{ - x}& + &{4y}& = &{ - 2}\\ {II:}&x& - &{4y}& = &2 \end{array}\) hat unendlich viele Lösungen
• Aussage 3: \(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&x& + &y& = &{62}\\ {II:}&x& - &{4y}& = &{ - 43} \end{array}\) hat genau zwei Lösungen
• Aussage 4: \(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&x& + &y& = &1\\ {II:}&{ - x}& + &y& = &2 \end{array}\) hat genau eine Lösung
• Aussage 5: \(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&x& + &y& = &{62}\\ {II:}&x& + &y& = &{ - 43} \end{array}\) hat keine Lösung

Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

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Lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen

Gleichungssysteme - 1204. Aufgabe 1_204

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Gleichungssystem

Eine Teilmenge der Lösungsmenge einer linearen Gleichung wird durch die nachstehende Abbildung dargestellt. Die durch die Gleichung beschriebene Gerade g verlauft durch die Punkte P₁ und P₂, deren Koordinaten jeweils ganzzahlig sind.

Die lineare Gleichung für g und eine zweite lineare Gleichung (h₁, oder h₂ oder h₃) bilden ein lineares Gleichungssystem.

• Satzteil 1_1:\({h_1}:{\text{ }}2x{\text{ }} + {\text{ }}y{\text{ }} = {\text{ }}1\)
• Satzteil 1_1:\({h_2}:{\text{ }}x{\text{ }} + {\text{ }}2y{\text{ }} = {\text{ }}8\)
• Satzteil 1_1:\({{\text{h}}_3}{\text{: y = 5}}\)

• Satzteil 2_1: hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen
• Satzteil 2_2: ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems\(L = \left\{ {\left( { - 2\left| 4 \right.} \right)} \right\}\)
• Satzteil 2_3: hat das Gleichungssystem keine Lösung

Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!

Hat die zweite lineare Gleichung die Form __1___, so ___2__

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Gleichungssystem - 1444. Aufgabe 1_444

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Projektwoche

An einer Projektwoche nehmen insgesamt 25 Schüler/innen teil. Die Anzahl der Mädchen wird mit x bezeichnet, die Anzahl der Burschen mit y. Die Mädchen werden in 3-Bett-Zimmern untergebracht, die Burschen in 4-Bett-Zimmern, insgesamt stehen 7 Zimmer zur Verfügung. Die Betten aller 7 Zimmer werden belegt, es bleiben keine leeren Betten übrig.

• Aussage 1: \(x + y = 7\)
• Aussage 2: \(x + y = 25\)
• Aussage 3: \(3 \cdot x + 4 \cdot y = 7\)
• Aussage 4: \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 7\)
• Aussage 5: \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 25\)

Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Mithilfe eines Gleichungssystems aus zwei der nachstehenden Gleichungen kann die Anzahl der Mädchen und die Anzahl der Burschen berechnet werden. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!

Projektwoche - 1568. Aufgabe 1_568

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Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Gleichungssystem

Gegeben ist ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen in den Variablen \(x,y \in {\Bbb R}\)

\(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&x& + &{4y}& = &{ - 8}&{}\\ {II:}&{ax}& + &{6y}& = &c&{{\rm{mit }}{\,\,a,c \in {\Bbb R}} } \end{array}\)

Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie diejenigen Werte für a und c, für die das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat!

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Gleichungssystem - 1516. Aufgabe 1_516

Lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Futtermittel

Ein Bauer hat zwei Sorten von Fertigfutter für die Rindermast gekauft. Fertigfutter A hat einen Proteinanteil von 14 %, während Fertigfutter B einen Proteinanteil von 35 % hat. Der Bauer möchte für seine Jungstiere 100 kg einer Mischung dieser beiden Fertigfutter-Sorten mit einem Proteinanteil von 18 % herstellen. Es sollen a kg der Sorte A mit b kg der Sorte B gemischt werden.

Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie zwei Gleichungen in den Variablen a und b an, mithilfe derer die für diese Mischung benötigten Mengen berechnet werden können!

• 1. Gleichung:
• 2. Gleichung:

Futtermittel - 1563. Aufgabe 1_563

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Lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner2019- Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Gleichungssystem

Gegeben ist ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen in den Variablen \(x,y \in {\Bbb R}\).
\(\eqalign{ & Gl.1:a \cdot x + y = - 2{\text{ mit }}a \in {\Bbb R} \cr & Gl.2:3 \cdot x + b \cdot y = 6{\text{ mit }}b \in {\Bbb R} \cr} \)

Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b so, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat!

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Gleichungssystem - 1664. Aufgabe 1_664

Lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen

Identische Geraden

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September2019- Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Lineares Gleichungssystem

Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem in den Variablen x₁ und x₂. Es gilt: a, b ∈ ℝ.
\(\begin{array}{l} 3 \cdot {x_1} - 4 \cdot {x_2} = a\\ b \cdot {x_1} + {x_2} = a \end{array}\)

Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Bestimmen Sie die Werte der Parameter a und b so, dass für die Lösungsmenge des Gleichungssystems\(L = \left\{ {\left( {2; - 2} \right)} \right\}\)ist!

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Lineares Gleichungssystem - 1711. Aufgabe 1_711

Lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai2021- Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Schulsportwoche

Für eine Schulsportwoche bucht eine Schule in einem Jugendgästehaus x Vierbettzimmer und y Sechsbettzimmer. Alle gebuchten Zimmer werden vollständig belegt.

Die Buchung kann durch das nachstehende Gleichungssystem beschrieben werden.
\(\begin{array}{l} I:\,\,\,\,4 \cdot x + 6 \cdot y = 56\\ II:\,\,\,x + y = 12 \end{array}\)

• Aussage 1: Es werden genau 4 Vierbettzimmer und genau 6 Sechsbettzimmer gebucht.
• Aussage 2: Es werden weniger Vierbettzimmer als Sechsbettzimmer gebucht.
• Aussage 3: Es werden genau 12 Zimmer gebucht.
• Aussage 4: Es werden Betten für genau 56 Personen gebucht.
• Aussage 5: Es werden genau 10 Zimmer gebucht.

Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]

Schulsportwoche - 1832. Aufgabe 1_832

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Methode gleicher Koeffizienten bei linearen Gleichungssystemen